Άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης 2

Σώμα μάζας m = 2Kg είναι δεμένο στο άκρο ελατηρίου σταθεράς k = 200N/m και εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με μικρή απόσβεση. Το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται σταθερό με τη βοήθεια εξωτερικής περιοδικής δύναμης (διεγέρτη) συχνότητας f = 4/π Hz. Η δύναμη απόσβεσης είναι της μορφής F = -b.u. Αν τη χρονική στιγμή t = 0 το σώμα βρίσκεται στη θέση μέγιστης θετικής απομάκρυνσης Α = 0,4m:

α) Να γράψετε την εξίσωση ταχύτητας – χρόνου u(t)

β) Να γράψετε τις εξισώσεις κινητικής , δυναμικής και ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με το χρόνο

γ) Να γράψετε τις εξισώσεις κινητικής, δυναμικής και ενέργειας ταλάντωσης σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος από τη Θ.Ι.

δ) Αν η συχνότητα του διεγέρτη διπλασιαστεί, θα αυξηθεί ή θα μειωθεί το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης και γιατί;

Για τη λύση της άσκησης πατήστε Άσκηση εξαναγκασμένης ταλάντωσης 2 (Λύση)

Βιβλιοθήκη Γεωλογίας...

Φθίνουσα μηχανική ταλάντωση

Σώμα εκτελεί ταλάντωση και η απομάκρυνση σε σχέση με το χρόνο είναι:

x = 4.e^(-t.ln16).ημωt   (στο S.I.)

O χρόνος υποδιπλασιασμού του πλάτους είναι 4Τ όπου Τ η περίοδος.  

Α. Να υπολογιστούν:

α) η σταθερά Λ και η περίοδος Τ του ταλαντωτή

β) ο χρόνος υποδιπλασιασμού της ενέργειας του ταλαντωτή

γ) το πλάτος όταν έχει ολοκληρωθεί η πρώτη περίοδος της κίνησης

δ) το ποσοστό μείωσης της ενέργειας του ταλαντωτή για t = 4T

Β) Να δείξετε ότι το ποσοστό μείωσης του πλάτους και το ποσοστό μείωσης της ενέργειας είναι σταθερά για τη διάρκεια οποιασδήποτε περιόδου.

Δίνεται  ln2 = 0,7

Για τη λύση της άσκησης πατήστε Φθίνουσα μηχανική ταλάντωση (Λύση)

Φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση

Για το παραπάνω κύκλωμα δίνονται: C = 2μF, L = 5mH, R₁ = 4Ω και R₂ = 16Ω. Αρχικά ο πυκνωτής είναι φορτισμένος σε τάση V = 10Volt. Τη χρονική στιγμή t = 0 κλείνει ο διακόπτης και ξεκινά ηλεκτρική ταλάντωση. Όταν το φορτίο του πυκνωτή είναι το μισό του αρχικού φορτίου, η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα είναι i =0,1A. Για την παραπάνω χρονική στιγμή να υπολογίσετε:

α) το φορτίο του πυκνωτή

β) το ρυθμό μεταβολής του φορτίου του πυκνωτή

γ) το ρυθμό μεταβολής της τάσης του πυκνωτή

δ) την απώλεια ενέργειας της ηλεκτρικής ταλάντωσης

ε) τη θερμότητα που εκλύθηκε σε κάθε αντιστάτη.

Για τη λύση της άσκησης πατήστε Φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση (Λύση)

Επίθεση απ' τις Παραγώγους

Ήταν οι Συναρτήσεις παρέα και τα έπιναν άσχημα σε ένα καπηλειό.  Φασαρία, μεγάλες πήλινες κούπες με κρασί, κουβέντες για το ποιος έχει το πιο μεγάλο πεδίο ορισμού, τις πιο κομψές κλίσεις και άλλα τέτοια. Όταν ξαφνικά.... Μέσα στο καπηλειό, μπουκάρει πανικόβλητος ο Λογάριθμος, φωνάζοντας: Φύγετε γρήγορα, μας βρήκαν οι Παράγωγοι και έρχονται να μας παραγωγίσουν. Φύγετε, σας λέω θα γίνει σφαγή. Πανικός, φωνές, τραπέζια να αναποδογυρίζουν και οι Συναρτήσεις να προσπαθούν να φύγουν όσο πιο γρήγορα μπορούν. Μόνο μία συνάρτηση, να έχει αράξει ατάραχη σε ένα τραπεζάκι και να κοιτάζει ανέμελα τα σημεία τομής της με τον άξονα των χ. 
 -Καλά, δεν άκουσες, της λέει ο Λογάριθμος, φύγε γρήγορα, θα γίνει σφαγή, έρχονται οι Παράγωγοι.

  -Δε μασάω, λέει η συνάρτηση ατάραχη. Εγώ είμαι η e^x. 

Μαθηματικός και Φυσικός στον ψυχολόγο

Ένας Μαθηματικός και ένας Φυσικός συνεννοούνται να επισκεφθούν έναν ψυχολόγο ώστε να κάνουν τα απαραίτητα τεστ. Ο ψυχολόγος καλεί πρώτα τον (πεινασμένο ως συνήθως) Μαθηματικό και τον βάζει σ΄ ένα άδειο δωμάτιο. Τον βάζει να κάτσει σε μια καρέκλα που βρίσκεται στην μια γωνία του δωματίου και στην άλλη γωνία τοποθετεί το αγαπημένο του φαγητό τέλεια σερβιρισμένο πάνω σ΄ ένα τραπέζι. Του εξηγεί κατόπιν ότι απαγορεύεται να σηκωθεί απ' τη θέση του αλλά κάθε λεπτό θα τον μετακινεί ακριβώς στην μέση της απόστασης με το τραπέζι. Τότε ο Μαθηματικός κοιτάζει όλο αηδία τον ψυχολόγο και λέει: "Τίίίίίί;;;;; Δεν πρόκειται να το κάνω αυτό το πείραμα!!! Αφού το ξέρεις ότι ποτέ δεν θα φθάσω στο φαγητό!!!" Σηκώνεται απ' τη θέση του βαράει την πόρτα με δύναμη και φεύγει. Κατόπιν ο –όλο απορία- ψυχολόγος καλεί τον Φυσικό και αφού του εξηγεί τη διαδικασία τον ρωτάει: "Συνειδητοποιείς ότι ποτέ δεν θα φθάσεις το φαγητό;;". Και του απαντάει ο Φυσικός με ένα μεγάλο χαμόγελο: "Φυσικά! Αλλά θα είμαι αρκετά κοντά για πρακτικούς λόγους!". 

Πώς ανοίγει μια κονσέρβα

Μάζεψαν αντιπροσώπους από τους Μαθηματικούς, τους Φυσικούς και τους Χημικούς και τους έδωσαν το εξής πρόβλημα. Πως θα μπορέσουν να ανοίξουν μια σφραγισμένη κονσέρβα;

Πρώτοι είπαν θα ξεκινήσουν οι φυσικοί. Κλείστηκαν μέσα σ" ένα μεγάλο αμφιθέατρο και άρχισαν να ψάχνουν τη λύση. Ύστερα από ένα μισάωρο, βγήκαν όλοι χαρούμενοι και φώναζαν: Βρήκαμε τη λύση, βρήκαμε τη λύση!

Τους ρώτησε τότε η επιτροπή ποια ήταν η λύση που έλεγαν, και οι φυσικοί απάντησαν: 'Θα θέσουμε την κονσέρβα σε περιστροφική κίνηση γωνιακής ταχύτητας 20m/sec. Καθώς θα στριφογυρίζει, θα τη βομβαρδίσουμε με σωματίδια ζήτα, με αποτέλεσμα να λιώσει το 
μέταλλο και να μην πάθει τίποτα απολύτως το περιεχόμενο της κονσέρβας.'

'Πολύ ωραία', είπαν οι κριτές, 'ας δοκιμάσουν οι χημικοί τώρα'. Πράγματι μπήκαν οι χημικοί στο αμφιθέατρο και προσπαθούσαν να λύσουν με τη σειρά τους κι αυτοί, αυτό το δύσκολο πρόβλημα. Όπως και οι φυσικοί, έτσι και οι χημικοί μετά από κάνα μισάωρο βγήκαν κι αυτοί με χαρές και πανηγύρια και φώναζαν: Το βρήκαμε! Το βρήκαμε!

Τους ρώτησε κι αυτούς η επιτροπή για τη λύση. Και οι χημικοί έδωσαν την εξής απάντηση: 'Θα βάλουμε την κονσέρβα μέσα σ" ένα κουβά με νερό. Θα προσθέσουμε μια χημική ένωση του σιδήρου και θα βάλουμε και ηλεκτρόδια από βανάδιο. Θα εφαρμόσουμε τάση 200 μVolt ανάμεσα στα ηλεκτρόδια με αποτέλεσμα να διαλυθεί το μέταλλο. Στο μεταξύ θα έχει εξατμιστεί και το νερό, οπότε μας μένει μόνο το περιεχόμενο της κονσέρβας καθαρό και έτοιμο για φάγωμα.'

'Πάρα πολύ ωραία', είπαν οι κριτές, 'για να δούμε όμως και τους μαθηματικούς'. Μπήκαν και οι μαθηματικοί στο αμφιθέατρο και άρχισαν να συζητούν το πρόβλημα.

Έμειναν μέσα στον αμφιθέατρο τρεις και μισή ώρες και οι κριτές είχαν αρχίσει να ανησυχούν Ύστερα από τρεις και μισή ώρες συνεχόμενης σύσκεψης, βγήκαν επιτέλους οι μαθηματικοί κουρασμένοι, καταϊδρωμένοι, ξεθεωμένοι, φωνάζοντας: Επιτέλους το βρήκαμε! Επιτέλους!

Και πριν προλάβει να τους ρωτήσει η επιτροπή, αυτοί άρχισαν να μιλάνε: 'Είχαμε τη λύση μπροστά μας και δεν τη βλέπαμε! Η λύση που βρήκαμε ήταν τόσο απλή στη χρήση αλλά και τόσο δύσκολη στη σύλληψη!', 'Λοιπόν;' τους ρώτησαν οι κριτές, 'ποια είναι αυτή η λύση;'

Και οι μαθηματικοί είπαν : 'Έστω μια ανοιχτή κονσέρβα...' 

Ελβετικά πρόβατα

Σε ένα τρένο για την Ελβετία συνταξιδεύουν ένας μαθηματικός, ένας θεωρητικός φυσικός και ένας οικονομολόγος. Σε κάποια στιγμή, ο οικονομολόγος για να πιάσει την κουβέντα στους άλλους δύο που είχαν περάσει τις τελευταίες τέσσερις ώρες διαβάζοντας τα πρακτικά του πρόσφατου συμποσίου για τα μη-Riemannια υπερτετράγωνα και για την παραμόρφωση του χωροχρονικού συνεχούς γύρω από τον ορίζοντα μιας μαύρης τρύπας αντίστοιχα, κοιτάζει το λιβάδι έξω από το παράθυρο του τρένου και αναφωνεί βλέποντας ένα μαύρο πρόβατο να βοσκάει ανέμελο: "Κύριοι, λέγω, τι πρωτότυπο, η Ελβετία έχει μαύρα πρόβατα!"

Ο φυσικός αφήνει κάτω το περιοδικό, κοιτάζει τον μαθηματικό, του χαμογελάει συγκαταβατικά, κοιτάζει τον οικονομολόγο και του λέει: "Μα κύριε μου, αυτό που λέτε είναι τελείως ανακριβές. Θα έπρεπε πιο σωστά να πείτε: Η Ελβετία έχει τουλάχιστον ένα μαύρο πρόβατο."

Ο μαθηματικός αφήνει κάτω και αυτός το περιοδικό του, χαμογελά και στους δύο παρευρισκόμενους και αρχίζει να μιλάει: "Νομίζω οι κύριοι παρασύρονται. Ορθότερα θα έθετα ότι η Ελβετία έχει ένα πρόβατο του οποίου τουλάχιστο η μία πλευρά είναι μαύρη." 

Φυσικός, Μαθηματικός και Μηχανικός

Ένας Μαθηματικός (ΜΑΘ) και ένας Μηχανικός (ΜΗΧ) παρακολουθούσαν μια διάλεξη που έδινε ένας Φυσικός.

Το θέμα αφορούσε τις θεωρίες Kulza-Klein περιλαμβανομένων των φυσικών διαδικασιών σε 11, 12 και ανωτέρου βαθμού -διάστατους χώρους. Ο Μαθηματικός καθόταν και φαινόταν να διασκεδάζει την διάλεξη την ώρα που ο Μηχανικός κατσούφιαζε, και ήταν εμφανώς μπερδεμένος. Στο τέλος της διάλεξης ο Μηχανικός είχε ένα τρομερό πονοκέφαλο ενώ ο Μαθηματικός έκανε κάποια θετικά σχόλια για την ομιλία. Τότε ο Μηχανικός γυρνάει στον Μαθηματικό και τον ρωτάει: «Πώς μπορείς και καταλαβαίνεις αυτά τα πράγματα;»

ΜΑΘ: «Απλώς φαντάζομαι νοερά την διαδικασία».

ΜΗΧ: «Μα πως είναι δυνατόν να φαντάζεσαι νοερά κάτι με 11, 12 διαστάσεις;;;»

ΜΑΘ: «Απλά πρώτα σκέφτομαι το πρόβλημα σε Ν-διάστατο χώρο και μετά θέτω όπου Ν=12».

Φωτιά!

Ένας Μαθηματικός, ένας Φυσικός και ένας Μηχανικός διανυκτερεύουν σ΄ ένα ξενοδοχείο. Ο Μηχανικός κάποια στιγμή ξυπνάει και μυρίζει καπνό. Σηκώνεται πάει στην πόρτα και βλέπει πως υπάρχει φωτιά στον διάδρομο. Τότε παίρνει έναν κουβά που είχε στο δωμάτιο του για τα σκουπίδια τον γεμίζει νερό, καταβρέχει την φωτιά και επιστρέφει ήσυχος στο δωμάτιό του. Μετά από λίγη ώρα η φωτιά αναζωπυρώνεται. 
Ξυπνάει αυτή τη φορά ο Φυσικός, μυρίζει καπνό, οπότε ανοίγει την πόρτα του δωματίου του και βλέπει τη φωτιά στον διάδρομο. Πλησιάζει με προσοχή, βγάζει το κομπιουτεράκι απ' την τσέπη του και αφού υπολογίσει την ταχύτητα των φλογών, την απόσταση, την πίεση του νερού, την τροχιά κλπ σβήνει τη φωτιά με την ελάχιστη ποσότητα νερού και ενέργειας που απαιτείται. Κατόπιν γυρνάει ήσυχος στο δωμάτιό του και συνεχίζει τον ύπνο του. Η φωτιά παρόλα αυτά αναζωπυρώνεται ξανά.

Τέλος ξυπνάει ο Μαθηματικός μυρίζει καπνό και κατευθύνεται στον διάδρομο. Εκεί βλέπει τη φωτιά, βλέπει τον πυροσβεστήρα πιο δίπλα οπότε σκέφτεται και λέει "α…. υπάρχει λύση!" γυρνάει στο δωμάτιό του και συνεχίζει τον ύπνο. 

Νεύτωνας και Πασκάλ

Μαζεύτηκαν οι επιστήμονες (Newton, Maxwell,  Einstein, Dirac, Schroedinger, Heisenberg, Plank και Bohr) και παίζανε κρυφτό. Έρχεται λοιπόν η σειρά του Einstein να "τα φυλάξει". Εκεί που κλείνει τα μάτια του παίρνει ο Newton μια κιμωλία, σχεδιάζει ένα τετράγωνο πλευράς ενός μέτρου και μπαίνει μέσα. Γυρνάει ο Einstein και λέει:
-Φτου να ένας Newton! Σε είδα!
-Όχι κάνεις λάθος....
-Ε...? Πώς κάνω λάθος αφού σε είδα...
-Όχι. Δεν είμαι ο Newton!
(Σταματάει το παιχνίδι... Μαζεύονται όλοι και σκέφτονται τι έπαθε ο Νεύτωνας και σάλταρε έτσι... ώσπου πετάγεται και τους λέει: )
-Τι δεν καταλαβαίνετε ρε παιδιά; Δεν  είμαι ο Newton. Είμαι ο Newton ανά τετραγωνικό μέτρο! Άρα ...είμαι ο Pascal!

Ερμηνεία λέξεων σε ένα Μαθηματικό ή Φυσικό τμήμα

Ερμηνεία λέξεων που θα ακούσετε σε ένα αμφιθέατρο μαθηματικού ή φυσικού τμήματος : 
ΠΡΟΦΑΝΩΣ = Έχει 7 πίνακες απόδειξη και βαριέμαι να τη γράψω 
ΤΕΤΡΙΜΜΕΝΟ = Άμα δεν ξέρεις να το βγάζεις αυτό, είσαι σε λάθος τμήμα 
ΧΩΡΙΣ ΒΛΑΒΗ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟΤΗΤΑΣ = Τώρα σιγά μην κάθομαι να σου εξηγώ τα πάντα, βρες τα υπόλοιπα και τις συνέπειες μόνος σου 
ΜΠΟΡΟΥΜΕ ΕΥΚΟΛΑ ΝΑ ΔΕΙΞΟΥΜΕ = …αλλά θα μας πάρει περίπου δύο βδομάδες και -πάλι- βαριέμαι 
ΑΥΤΟ ΕΛΕΓΞΤΕ ΤΟ ΜΟΝΟΙ ΣΑΣ = Ρε πόσο μα πόσο βαριέμαι. Άσε που δεν είμαι σίγουρος για το τι θα βγει.. 
ΚΟΜΨΗ ΑΠΟΔΕΙΞΗ = Αυτός που τη σκέφτηκε έκανε ένα λογικό άλμα ίσα από δω μέχρι την Αυστραλία, είχε τρελή φαντασία και κατάφερε να αποδείξει αυτό το απίστευτο πράμα σε λιγότερο από 10 γραμμές 
Η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΠΑΡΑΛΕΙΠΕΤΑΙ = Εκτός του ότι δεν είμαι σίγουρος πως τη θυμάμαι απέξω, βαριέμαι κιόλας.

Μηχανικός, Φυσικός, Μαθηματικός και Προγραμματιστής

Ένας μηχανικóς, ένας φυσικóς, ένας μαθηματικóς και ένας προγραμματιστής συζητούσαν για το ποιο είναι το αρχαιóτερο επάγγελμα (ναι, ναι, ξέρουμε πιο είναι, ΕΚΤΟΣ αυτού λέμε τώρα.) 
-Λέει ο μηχανικóς "κοιτάξτε πως έχουν φτιαχτεί οι γαλαξίες, αστέρες, πλανήτες απó την ύλη του σύμπαντος." 
-Λέει ο φυσικóς "ναι, αλλά η ύλη έπρεπε πρώτα να δημιουργηθεί, βλέπε πρωτóνια, ηλεκτρóνια, φωτóνια..." 
-Λέει ο μαθηματικóς "αλλά για να γίνει αυτó έπρεπε πρώτα να φτιαχτούν οι μαθηματικοί κανóνες που είναι ικανοί να περιγράψουν óλο αυτó το χάος." 
-Λέει και ο προγραμματιστής "και εσείς απó που νομίζετε ήρθε το χάος;" 

Φυσικοί και Μαθηματικοί

Μια άλλη φορά, μάζεψαν τους μαθηματικούς και τους φυσικούς, και τους ανάθεσαν το εξής πρόβλημα: Έστω ότι έχετε στη διάθεση σας έναν πλαστικό κουβά με νερό, ένα σκεύος pyrex ικανό να χωρέσει το περιεχόμενο του κουβά και ένα ηλεκτρικό μάτι. Ποιος ο βέλτιστος τρόπος για να ζεστάνετε το νερό;

Οι φυσικοί, συσκέφθηκαν, συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία, έκαναν μερικά πειράματα και τελικά είπαν: Αδειάζουμε το περιεχόμενο του κουβά στο pyrex, τοποθετούμε το pyrex στο ηλεκτρικό μάτι, ανάβουμε το μάτι και ζεσταίνεται το νερό.

Οι μαθηματικοί, με τη σειρά τους, συσκέφθηκαν, συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία και τελικά είπαν: Αδειάζουμε το περιεχόμενο του κουβά στο pyrex, τοποθετούμε το pyrex στο ηλεκτρικό μάτι, ανάβουμε το μάτι και ζεσταίνεται το νερό.

Καλώς, είπαν οι κριτές. Έστω τώρα το εξής πρόβλημα: Δίνεται ένα pyrex γεμάτο με νερό και ένα ηλεκτρικό μάτι. Ποιος ο βέλτιστος τρόπος για να ζεστάνουμε το νερό;

Οι φυσικοί, συσκέφθηκαν  συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία και τελικά είπαν: Τοποθετούμε το pyrex στο ηλεκτρικό μάτι, ανάβουμε το μάτι και ζεσταίνεται το νερό.

Οι μαθηματικοί, με τη σειρά τους, συσκέφθηκαν, συζήτησαν, έψαξαν τη σχετική βιβλιογραφία, κατάστρωσαν και λύσανε μερικά συστήματα διαφορικών εξισώσεων και τελικά είπαν: Αδειάζουμε το περιεχόμενο του pyrex στον πλαστικό κουβά και το πρόβλημα μας ανάγεται στο προηγούμενο... 

Φυσικός, Μαθηματικός και Βιολόγος

Ένας μαθηματικός, ένας βιολόγος και ένας φυσικός καθόταν σε έναν τραπεζάκι σε γνωστό προάστιο της Αθήνας έξω στον πεζόδρομο, έπιναν καφέ και κοιτούσαν τους ανθρώπους που μπαινόβγαιναν στο απέναντι κτίριο. Πρώτα βλέπουν 2 άτομα να μπαίνουν μέσα στο κτίριο. Περνάει λίγη ώρα και βλέπουν 3 άτομα να βγαίνουν από το κτίριο.

Λέει τότε ο φυσικός με στόμφο:

- η μέτρηση δεν ήταν ακριβής…

Τον κοιτάει ο βιολόγος με χαμόγελο:

- μάλλον θα αναπαράχθηκαν…

Οπότε ο μαθηματικός με ανυπέρβλητο μπλαζέ ύφος  συμπληρώνει:

- αν τώρα μπει ακόμη ένα άτομο μέσα στο κτίριο τότε θα αδειάσει…